Curiosidades del cubo de Rubik

may 5 2012

Número de combinaciones de un cubo de Rubik

El cubo de Rubik tiene un enorme número de combinaciones posibles. ¿Pero cuántas exactamente?

¡Vamos a calcularlo!

• Hay 12 aristas en un cubo de Rubik y, por lo tanto, 12 posiciones en las que colocarlas. ¿Cuántas posibilidades son estas? La primera arista tiene 12 posibilidades, la segunda ya sólo tiene 11 posibilidades (hay un hueco ocupado), la tercera 10 posibilidades, y así hasta colocar las 12 aristas. Es decir, hay 12*11*10*…*2*1, que en términos matemáticos se escribe 12! (12 factorial)
• Tenemos 8 vértices en un cubo de Rubik, por lo que, actuando como en el caso anterior, tenemos 8*7*…*2*1 = 8! casos posibles.
• Cada arista tiene 2 posibles orientaciones, por lo que el número de casos posibles será 2*2*…*2*2 (12 veces), es decir, 2¹² combinaciones.
• Cada vértice tiene 3 posibles orientaciones, por lo que, actuando como en el caso anterior, tenemos 3*3*…*3*3 = 3⁸

Sin embargo, también tenemos algunas limitaciones:

• No se puede cambiar la orientación de únicamente una arista, por lo que debemos dividir entre 2.
• No se puede cambiar la orientación de únicamente un vértice, por lo que debemos dividir entre 3.
• No se puede intercambiar la posición de únicamente dos aristas, o de únicamente dos vértices, excepto que se hagan ambas cosas a la vez. Por lo tanto, debemos dividir el resultado entre 2.

Por lo tanto, el número de combinaciones del cubo de Rubik es:

12! * 8! * 2¹² * 3⁸ / (2*3*2) = 43.252.003.274.489.856.000 = 4,3 * 10¹⁹ combinaciones posibles

¿Cómo de grande es ese número?

Cuando vemos el número de combinaciones nos parece bastante grande, muy grande incluso, pero normalmente no nos damos cuenta de su verdadero tamaño ya que estamos acostumbrados a trabajar con potencias de 10 en la escuela o en el colegio. Por eso, vamos a compararlo con el tiempo transcurrido desde el Big Bang. La edad del universo se estima en unos 13.700 millones de años, es decir 1,3 * 10¹⁰ años. Si multiplicamos ese número por 365,2 obtendremos el número de días transcurridos desde el Big Bang. Multiplicamos también por 24 para obtener las horas, por 60 para obtener los minutos, y finalmente otra vez por 60 para obtener los segundos.

Una vez multiplicado todo, obtenemos que el número de segundos transcurridos desde el origen del universo es de 4,3 * 10¹⁷, ¡100 veces menos que el número de combinaciones del cubo de Rubik!

Es decir, que si desde el mismo Big Bang hubiera habido un cubo de Rubik tomando una combinación distinta en cada segundo, ahora mismo estaría a punto de conseguir llegar al 1% del número de combinaciones del cubo de Rubik.

Así que si alguien te dice algo como “me puse a girar las caras del cubo de Rubik aleatoriamente mientras miraba la tele… y cuando lo miré lo había resulto” cuanto menos desconfía.

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